Operasi Dalam Sistem Bilangan

SISTEM BILANGAN

 Sistem bilangan adalah cara untuk mewaikili besaran dari suatu item fisik. Sistem bilangan yang banyak dipergunakan oleh manusia adalah sistem bilangan desimal, di mana manusia mengenal bilangan angka dari 0, 1, 2 hingga 9 (10 digit). 

 Sistem ini digunakan karena manusia memiliki 10 buah jari untuk membuat perhitungan-perhitungan. 

 Lain halnya dengan komputer, logika komputer diwakili oleh bentuk elemen dari dua keadaan (two state elements), yaitu keadaan off (tidak ada arus) dan keadaan on (ada arus). 

 Konsep ini yang dipakai menjadi sistem bilangan Binari yang hanya menggunakan 2 macam nilai untuk mewakili besaran nilai (0 dan 1). 

 Selain itu komputer juga menggunakan sistem bilangan yang lain yaitu sistem bilangan oktal dan sistem bilangan heksadesimal. 

• Sistem Bilangan Desimal

Angka yang dipakai adalah: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9.

Nilai Desimal Standard Exponential Form

123,4 0,1234 x 10 3

12,34 0,1234 x 10 2

1,234 0,1234 x 10 1

0,1234 0,1234 x 10 0

0,01234 0,1234 x 10 -1

-1,234 -0,1234 x 10 1

• Sistem Bilangan Biner

Angka yang dipakai: 0 dan 1

Misal: nilai bilangan binari 10012 dapat diartikan dalam sistem bilangan desimal bernilai:

1 0 1 1

x x x x

23 22 21 20

|| || || ||

8 + 0 + 2 + 1 = 11

Pertambahan Bilangan Biner

Dasar pertambahan untuk masing - masing digit bilangan binary

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 0  Dengan carry of 1

Contoh: 1111 2

10100 2 +

100011 2 Carry of 1 (3 kali)

Pengurangan Bilangan Biner

Dasar pengurangan untuk masing - masing digit bilangan binary

0 – 0 = 0

1 – 0 = 1

1 – 1 = 0

0 – 1 = 1 Dengan borrow of 1 11001 2

Contoh: 11101 2

10011 2 _

1011 2 _

borrow of 1 (1 kali) 00110 2 borrow of 1 (2 kali)

10010 2

Perkalian Bilangan Biner

Dasar perkalian

0 x 0 = 0

1 x 0 = 0

0 x 1 = 0

1 x 1 = 1

untuk masing - masing digit bilangan binary

Contoh : 1110 2

1100 2 x

0000

0000

1110

1110

10101000 2

Pembagian Bilangan Biner

Dasar pembagian untuk masing - masing digit bilangan binary

0 : 1 = 0

0 : 0 = 0

1 : 1 = 1

1 : 0 = 1

Contoh :

101 1111101   11001

101

101

101

0101

101

0

 KOMPLEMEN (COMPLEMENT) 

Komplemen pada dasarnya merubah bentuk pengurangan menjadi bentuk

pertambahan.

i. Bilangan desimal ada 2 macam : 

 Komplemen 9 (merupakan komplemen basis 1) 

 Komplemen 10 (merupakan komplemen basis) 

ii. Bilangan binari ada 2 macam : 

 Komplemen 1 (merupakan komplemen basis 1) 

 Komplemen 2 (merupakan komplemen basis) 

Sistem Bilangan Octal

Sistem bilangan Octal menggunakan 8 macam simbol bilangan, yaitu : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6

dan 7. Contoh sistem bilangan octal adalah sebagai berikut:

Misalnya bilangan oktal 12138  di dalam sistem bilangan desimal akan bernilai

1 2 1 3

x x x x

83 82 81 80

|| || || ||

(1 x 512)   + (2 x 64) + (1 x 8) + (3 x 1) = 651

Jika ditulis dengan notasi: 12138 = 65110

PERTAMBAHAN BILANGAN OKTAL

Pertambahan bilangan oktal dapat dilakukan seperti halnya bilangan desimal, dengan

langkah-langkah sebagai berikut:

1. Tambahkan masing-masing kolom secara desimal 

2. Ubah hasil dari desimal ke oktal 

3. Tuliskan hasil dari digit paling kanan dari hasil oktal 

4. Jika hasil pertambahan tiap-tiap kolom terdiri dari 2 digit, maka digit paling kiri 

merupakan carry of untuk pertambahan pada kolom selanjutnya.

Contoh:

258

1278 +

1548

carry of 1 (1 kali)

PENGURANGAN BILANGAN OKTAL

Pengurangan bilangan oktal dapat dilakukan seperti halnya bilangan desimal, dengan

langkah-langkah sebagai berikut:

1. Konversikan bilangan yang akan dikurangkan ke bentuk desimal 

2. Kurangkan setiap bilangan secara desimal 

3. Jika bilangan yang akan dikurangkan nilainya lebih kecil dari bilangan pengurang, maka pinjamlah (borrow of) dari sebelah kirinya dan konversikan ke bentuk desimal. 

Contoh:

1548

1278

258    borrow of 1 (1 kali)

PERKALIAN BILANGAN OKTAL

Perkalian bilangan oktal dapat dilakukan dengan cara berikut :

1. Kalikan setiap bilangan secara desimal 

2. Konversikan hasilnya ke Oktal 

3. Jika hasil perkalian setiap bilangan bernilai 2 digit, maka digit yang paling kiri merupakan carry of untuk penjumlahan bilangan berikutnya. 

Contoh: 16 8 14 8 x 70

16 +

250 8

SISTEM BILANGAN HEKSADESIMAL

Terdiri dari 16 macam simbol, yaitu:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, dan F

Misal bilangan heksadesimal C7 16  dalam sistem bilangan desimal bernilai:

C 7

x x = (12x16) + (7x1)

161 160 = 192 + 7

= 19910

Pertambahan Bilangan Heksadesimal

Pertambahan bilangan oktal dapat dilakukan dengan cara berikut :

1. Tambahkan masing – masing bilangan secara desimal 

2. Konversikan hasilnya ke Heksadesimal 

3. Jika Hasil Pertambahan terdiri dari 2 digit maka digit paling kiri merupakan 

carry of untuk pertambahan bilangan berikutnya.

Misal: 

BAD 16

431 16  +

FDE 16
CBA 16 
627 16  +

12E1 16

Pengurangan Bilangan Heksadesimal

Pengurangan bilangan Heksadesimal dapat dilakukan dengan cara berikut :

1. Koversikan Bilangan yang akan dikurang ke Desimal 

2. Kurangkan setiap bilangan secara desimal 

3. Jika Bilangan yang akan dikurang lebih kecil dari bilangan pengurang maka Pinjam atau Borrow dari sebelah kirinya dan konvesikan pula ke Desimal. 

Contoh: 

1 2 E 1 16

6 2 7 16 +

C B A 16

Perkalian Bilangan Heksadesimal

Perkalian bilangan heksadesimal dapat dilakukan dengan cara berikut :

1. Kalikan setiap bilangan secara desimal 

2. Konversikan hasilnya ke heksadesimal 

3. Jika hasil perkalian setiap bilangan bernilai 2 digit, maka digit yang paling kiri merupakan carry of untuk penjumlahan bilangan berikutnya. 

Contoh: 

  AC 16

1B 16 x

764

AC +

1224 16

ARITMATIKA BINER

 Operasi aritmatika untuk bilangan biner dilakukan dengan cara hampir sama dengan operasi aritmatika untuk bilangan desimal. Penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian dilakukan digit per digit. 

 Kelebihan nilai suatu digit pada proses penjumlahan dan perkalian akan menjadi bawaan (carry) yang nantinya ditambahkan pada digit sebelah kirinya. 

PENJUMLAHAN

Aturan dasar penjumlahan pada sistem bilangan biner :

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 0, simpan (carry) 1

Penjumlahan Desimal

103 102 101 100

(1000) (100) (10) (1)

8 2 3

3 3 8

Simpan (carry) 1 1

Jumlah 1 1 6 1

Penjumlahan Biner

25 24 23 22 21 20

32 16 8 4 2 1

1 1 0 0 1

1 1 0 1 1

Simpan (carry) 1 1 1 1

Jumlah 1 1 0 1 0 0

Bit Bertanda

Bit 0 menyatakan bilangan positif Bit 1 menyatakan bilangan negatif

A6 A5 A4 A3 A2 A1 A0

0 1 1 0 1 0 0 = + 52

Bit Tanda Magnitude

B6 B5 B4 B3 B2 B1 B0

1 1 1 0 1 0 0 = - 52

Bit Tanda

Magnitude

Komplemen ke 2

Metode untuk menyatakan bit bertanda digunakan sistem komplement kedua (2’s complement form)

Komplemen ke 1

Biner 0 diubah menjadi 1

Biner 1 diubah menjadi 0

Misal

1 0 1 1 0 1 0

0 1 0 0 1 0 1

Biner Awal

Komplemen pertama

Membuat Komplemen ke 2

1. Ubah bit awal menjadi komplemen pertama 

2. Tambahkan 1 pada bit terakhir (LSB) 

Misal

1 0 1 1 0 1

0 1 0 0 1 0

1

0 1 0 0 1 1

Biner Awal = 45

Komplemen 1

Tambah 1 pada LSB Komplemen 2

Menyatakan Bilangan Bertanda dengan Komplemen ke 2

1. Apabila bilangannya positif, magnitude dinyatakan dengan biner aslinya dan bit tanda (0) diletakkan di depan MSB. 

2. Apabila bilangannya negatif, magnitude dinyatakan dalam bentuk komplemen ke 2 dan bit tanda (1) diletakkan di depan MSB 

0 1    0    1    1    0    1    Biner = + 45

Bit Tanda Biner asli

1 0 1 0 0 1 1 Biner = - 45

Bit Tanda

Komplemen ke 2

Negasi

Operasi mengubah sebuah bilangan negatif menjadi bilangan positif ekuivalennya, atau mengubah bilangan positif menadi bilangan negatif ekuivalennya.

Hal tersebut dilakukan dengan meng-komplemenkan ke 2 dari biner yang dikehendaki

Misal : negasi dari + 9 adalah – 9 + 9 = 01001 Biner awal

- 9 = 10111 Negasi (Komplemen ke 2) + 9 = 01001 Di negasi lagi

Penjumlahan di Sistem Komplemen ke 2

Dua bilangan positif

Dilakukan secara langsung. Misal penjumlahan +9 dan +4

+9  0 1 0 0 1

+4  0 0 1 0 0

0 1 1 0 1

Bit tanda ikut dalam operasi penjumlahan

Bilangan positif dan sebuah bilangan negatif yang lebih kecil

Misal penjumlahan +9 dan -4. Bilangan -4 diperoleh dari komplemen ke dua dari +4

+9  0 1 0 0 1

-4  1 1 1 0 0

1 0 0 1 0 1

Carry diabaikan, hasilnya adalah 00101 ( = +5)

Bilangan positif dan sebuah bilangan negatif yang lebih Besar

Misal penjumlahan -9 dan +4. Bilangan -9 diperoleh dari komplemen ke dua dari +9

-9  1 0 1 1 1

+4  0 0 1 0 0

1 1 0 1 1

Bit tanda ikut dalam operasi penjumlahan

Dua Bilangan Negatif

Misal penjumlahan -9 dan -4. Bilangan -9 dan - 4 masing – masing diperoleh dari komplemen ke dua dari +9 dan -4

-9  1 0 1 1 1

-4  1 1 1 0 0

1 1 0 0 1 1

Bit tanda ikut dalam operasi penjumlahan

Carry diabaikan

Operasi Pengurangan

Aturan Umum 0 – 0 = 0 1 – 0 = 1 1 – 1 = 0

0 – 1 =1 , pinjam 1

Misal

1 1 1 0

1 0 1 1

1 1 Pinjam

0 0 1 1 Hasil

Operasi Pengurangan

Operasi pengurangan melibatkan komplemen ke 2 pada dasarnya melibatkan operasi penjumlahan tidak berbeda dengan contoh – contoh operasi penjumlahan sebelumnya.

Prosedur pengurangan

1. Negasikan pengurang. 

2. Tambahkan pada yang dikurangi 

3. Hasil penjumlahan merupakan selisih antara pengurang dan yang dikurangi 

Misal : +9 dikurangi +4 +9  01001 +4  00100 -

Operasi tersebut akan memberikan hasil yang sama dengan operasi

+9  01001 -4  11100 +

+9  0 1 0 0 1

-4  1 1 1 0 0

1 0 0 1 0 1

Carry diabaikan, hasilnya adalah 00101 ( = +5)

Perkalian Biner

Perkalian biner dilakukan sebagaimana perkalian desimal

1 0 0 1 9

1 0 1 1 11

1 0 0 1

1 0 0 1 
    0 0 0 0  
 1 0 0 1

1 1 0 0 0 1 1 99